Предисловие

По математике составлено огромное количество книг и учебников на любой вкус. И мне бы не пришло в голову написать еще один такой же учебник, как две капли воды похожий на все остальные. Поэтому я сделал все иначе.

Во-первых, этот курс сфокусирован не на математике, а на нематематике. Это означает, что в нем самыми важными будут приложения математики к реальному миру и новые возможности, которые открываются любому непосвященному человеку, но заинтересованному увидеть что-то новое, необычное и полезное.

Во-вторых, в этой книжке вообще нет ни одной формулы. Это не означает, что математические формулы являются лишними или они не нужны вовсе. Просто я хотел показать, что для того, чтобы содержательно что-то обсудить, можно на некоторое время обойтись и без них. Тем любопытнее будет посмотреть, что изменилось бы с появлением формул, этих странных букв и непонятных значков.

В-третьих, каждая глава завершается конкретным заданием, относящимся к практической жизни и, возможно даже, к будущей профессии. После выполнения такого задания не должно оставаться вопроса, зачем нужно изучать ту или иную тему. Тем самым, курс имеет практическую направленность, в отличие от большинства курсов по математике, примеры и задачи в которых обычно рассматриваются как абстрактная гимнастика для ума.

И, наконец, в-четвертых. Все части этой книжки написаны очень кратко. Я полагал, что прочитать две страницы текста будет не так сложно. Но понять, что там написано будет практически невозможно без преподавателя. Эту книжку практически невозможно использовать как замену реальным занятиям в аудитории. С объяснением, обсуждением, ошибками, спорами и всем прочим, что характерно для живого общения. Тем, кто его избегает, эта книжка и этот курс будут абсолютно недоступны. Про математику и особенно нематематику нужно разговаривать.

Итак, начнем…

Август 2022 г.

НЕМАТЕМАТИКА

Глава 1. Математика

В этой главе обсуждается несколько определений математики. Если их несколько, это значит что одно определение выбрать невозможно. Далее приведены самые общие сведения о различных разделах математики, использовании математических моделей для анализа реального мира. В завершение главы порассуждаем о том, почему этот курс называется нематематикой.

1.1. Что такое математика

Рене Декарт: к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера. Фридрих Энгельс: математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Николя Бурбаки: Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, – именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм – математических структур. Герман Вейль: вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.

1.2. Разделы математики

Разделы математики в самом обобщенном виде можно представить следующим образом. Количество: Число – Арифметика – Алгебра. Преобразования: Арифметика – Анализ – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса. Структуры: Теория множеств – Линейная алгебра – Топология. Пространственные отношения: Геометрия – Тригонометрия – Дифференциальная геометрия – Топология – Теория меры – Фракталы. Дискретная математика: Математическая логика – Комбинаторика – Теория графов – Теория алгоритмов – Информатика. Международный классификатор предметов математики: Mathematics Subject Classification (MSC2020).

1.3. Математические модели

Математический объект – это абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике. Математические