Предисловие

Сначала была новогодняя декада[1 - Декада – промежуток времени в десять дней (от др.-греч. ?????, ??????? – «десяток»).]: перед наступлением 2019 года заключительные десять дней мы в нашей группе ВКонтакте «Математические лайфхаки» публиковали задачи новогодней тематики.

Потом мы замахнулись на предновогоднюю стодневку: с 23 сентября по 31 декабря 2020 года каждый день мы предлагали по одной задаче (всего получилось сто). Содержание уже не всегда было праздничным (это было трудновато соблюсти), но нам пришла идея соединить математические свойства чисел и нумерацию года. По результатам этих двух челленджей мы и создали эту книгу.

Несколько договорённостей.

Весь разговор ведётся только в рамках десятичной системы счисления!

Число, которое является порядковым номером наступающего года, будем называть «числом года». Этот термин не имеет ничего общего с нумерологическими понятиями. Просто это самое оптимальное (короткое, понятное и – главное! – корректное) название из всех возможных.

В некоторых случаях возникает необходимость в обозначении числа года (в нашем понимании), пусть это будет «N».

Число N – четырёхзначное (в ближайшие без малого восемь тысяч лет) и натуральное, что очевидно и понятно.

Задачи мы будем формулировать максимально обобщённо для того, чтобы каждую задачу можно было использовать в любой текущий год. В конце книги есть раздел «Комментарии», в котором почти для каждой задачи приведены некоторые рассуждения, помогающие найти решение и ответ. В тексте некоторых задач есть пояснения, в других же такие пояснения отсутствуют. Но всю необходимую информацию можно найти в разделе «Комментарии» (в крайнем случае, в интернете).

Содержание книги можно применять во внеклассной работе по математике (выборочно или всё, по обстоятельствам).

Задачи можно ежедневно предлагать учащимся (в любом подходящем формате), скажем, в рубрике «Задача дня» (познавательные посты в соцсетях, публикации на тематических стендах и прочее и прочее…).

В формулировках задач преимущественно встречается два оборота «число предстоящего года» и «число наступающего года», но ничто не мешает при необходимости заменить их на «число текущего года».

    Сентябрь, 2021

ЗАДАЧА 1

(23 сентября)

Если предновогодняя стодневка начинается в понедельник, то в какой день недели наступит новый год?

На календарь не смотреть!

Задача, безусловно, имеет ещё шесть вариаций: вместо понедельника можно взять любой день недели.

ЗАДАЧА 2

(24 сентября)

Некоторые виды натуральных чисел можно определить просто по их «внешнему виду».

Является ли число предстоящего года палиндромом?

ЗАДАЧА 3

(25 сентября)

Является ли число предстоящего года репдигитом?

Это тоже можно определить непосредственно по записи числа.

ЗАДАЧА 4

(26 сентября)

Число года натуральное. Но натуральные числа бывают разными. Какова чётность числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 5

(27 сентября)

1. Если число предстоящего года нечётное, то является оно простым или составным?

2. Если число предстоящего года чётное, то оно очевидно составное. Однако, если число равно произведению двух простых чисел, то оно называется полупростым. Является ли число предстоящего года полупростым?

Кстати, нечётное число также может быть полупростым, так ли это для числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 6

(28 сентября)

Простое число, не являющееся палиндромом, называет бипростым, если при записи его цифр в обратном порядке также получается простое число.

Является ли число предстоящего года бипростым?

ЗАДАЧА 7

(29 сентября)

Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?

ЗАДАЧА 8

(30 сентября)

Число называется продолговатым, если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы. Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.

Будет ли число предстоящего года продолговатым?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли постое число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть простым?

3. Всегда ли составное число будет про