Параллельный перенос вектора. Критика
Петр Путенихин
Ошибочно считается, что в искривленном пространстве параллельный перенос вектора по замкнутому контуру приводит к изменению его направления. Ошибочным является также и утверждение, что при перемещении вектора по разным траекториям в конечной точке его направления оказываются разными. Приведены доказательства ошибочности этих утверждений. It is mistakenly believed that in a curved space, the parallel transfer of a vector along a closed contour leads to a change in its direction. It is also erroneous to say that when the vector moves along different trajectories at the end point, its directions turn out to be different. The proofs of the fallacy of these statements are given.
Петр Путенихин
Параллельный перенос вектора. Критика
Практически во всех источниках, учебниках, рассматривающих вопрос определения кривизны собственного пространства внутренним наблюдателем, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности:
"… внутренняя кривизна пространства-времени, т. е. кривизна, при определении которой не только не используется погружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [8, т.1, с.411].
В качестве одного из способов такого определения чаще всего рассматривается явление поворота вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:
"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. Следовательно, численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].
Известны и более формализованные описания таких процессов, например, в терминах тензоров:
"… параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор … из произвольной точки А в точку D вдоль различных сторон параллелограмма … можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) …" [4, с.67]
Разностью компонент тензора в данном случае и обозначают изменение направления вектора при таком параллельном переносе. Примерно такой же вывод следует из доказательств еще одного автора:
"При произвольном переносе … вектор получает приращение … Выведем формулу … Таким образом, при параллельном переносе вектор … получает приращение …" [5, с.51]
Эти выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой и в евклидовой системах координат компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем система координат в общем случае, как считается, может быть и искривленной. Но в искривленном пространстве:
"… результирующий вектор a
, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора a
, причем разность a
– a
зависит от выбора замкнутой кривой … это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами" [7, с.231].
Именно такое поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения понятия кривизны пространства:
"… пространство называется искривленным, если результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую зависит от выбора пути, по которому производится перенос" [1, с.84].
При параллельном переносе всегда принимается, что длина вектора остается неизменной, поэтому результатом переноса может быть только поворот вектора, но не его растяжение или сжатие. Посколь