Математика (Математическое обучение) для DATA SCIENTIST

1. Алгебра

1.1 Комплексные числа. Геометрическое представление, алгебраическая и тригонометрическая форма записи, извлечение корней, корни из минус единицы.

1.2 Метод Жордано-Гаусса к системам линейных уравнений. Прямоугольные матрицы как способ представления систем линейных уравнений. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду.

1.3 Ранг матрицы. Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, базис и ранг системы строк (столбцов). Ранг матрицы. Критерий совместимости и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

1.4 Определители. Определитель квадратной матрицы, его основные свойства. Критерий равенства определителя нулю. Формула разложения определителя матрицы по строке (столбцу).

1.5 Операции над матрицами. Операции над матрицами и их свойства. Теорема о ранге произведения двух матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц. Обратная матрица, ее явный вид (формула), способ выражения с помощью элементарных преобразований строк.

1.6 Вектора, векторные пространства. Векторное пространство, его базис и размерность. Преобразование координат в векторном пространстве. Подпространства как множество решений систем однородных линейных уравнений Связь между размерностями суммы и пересечения двух подпространств.

1.7 Линейные отображения и линейные операторы. Линейные отображения, их запись в координатах образ и ядро линейного отображения, связь между их размерностями. Сопряженное пространство и сопряженные базисы. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

1.8 Билинейные и квадратичные функции. Билинейные функции, их запись в координатах. Изменение матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ортогональное дополнение к подпространству относительно симметрической билинейной функции. Связь между симметрическими билинейными и квадратичными функциями. Существование ортогонального базиса для симметрической билинейной функции. Нормальный вид вещественной квадратичной функции. Закон инерции.

1.9 Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные базисы. Ортогонализация Грама-Шмидта. Ортогональные операторы.