Высшая математика. Шпаргалка

Аурика Луковкина

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Высшая математика. Шпаргалка

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ? (отрезок ОМ) и полярным углом?. Для полярного угла берется его главное значение (от –? до ?). Числа ?, ? называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cos?, y = r sin? или:

Пусть имеются две точки М

(х

, у

) и М

(х

, у

). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А

(х

, у

), А

(х

, у

), А

(х

, у

), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х

– х

) (у

– у

) – (х

– x

) (у

– у

) = 0.

2. Пусть даны две точки А

(х

, у

), А

(х

, у

), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х

– х

)(у – у

) – (х – х

)(у

– у

) = 0 или (х – х

) / (х

– х

) = (у – у

) / (у

– у

).

3. Пусть имеются точка М (х

, у

) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у

= а(х – х

).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х

) + В(у – у

) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у

= –(х – х

) / а

или

а(у – у

) = х

– х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х

, у

), описывается уравнением А (у – у

) – В(х – х

) = 0.

4. Пусть даны две точки А

(х

, у

), А

(х

, у

) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А

, А

лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах

+ Ву

+ С) и (Ах

+ Ву

+ С) имеют одинаковые