Введение

Посмотрев и оценив статистику продаж моих учебно-методических материалов на сайте Инфоурок за последние три месяца (смотрите График и легенду «популярности» моих методических разработок (МР) по Теории вероятностей на портале «Инфоурок»), я пришел к выводу, что имею полное право начинать создавать серию (ленту) электронных книг «Вероятность и Статистика».

График и легенда «популярности» МР по Теории вероятностей на портале «Инфоурок»

1.1. Основные понятия Комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математике, изучающий способы формирования и выбора конечных множеств объектов. Основные понятия включают:

– Множества: Совокупности объектов, которые могут быть определены и изучены. Объекты, являющиеся элементами множества, называются «элементами».

– Перестановки: Различные упорядоченные последовательности элементов множества. Перестановки можно рассматривать как требования к расположению объектов в определенном порядке.

– Сочетания: Подмножества, формируемые из заданного множества без учета порядка. Например, выбор двух элементов из четырех без учета их расположения.

– Разбиения: Способы разделения множества на непересекающиеся подмножества.

Размещениями называются выборки из n элементов по m элементов, комбинации, содержащие m элементов из данных n, отличающиеся составом или порядком элементов.

Перестановками n элементов называются комбинации, состоящие из всех n элементов, отличающиеся порядком элементов.

Сочетаниями по m элементов из данных n элементов называются комбинации, содержащие m элементов и отличающиеся их составом. A_ {mn} = C_ {mn} *P_m; C_ {mn} = n (n-1) (n-m+1) /m!.

1.2. Перестановки

Перестановки могут быть классифицированы по:

– числу перестановок: Для множества из n элементов количество перестановок равно n = n! (n факториал). Например, для 3 элементов: 3! = 6.

– различным перестановкам с пробелами: Когда в перестановке учитываются некоторые элементы (например, пробелы), используются формулы с делением на факториалы для учета повторяющихся элементов. Например, для множества из n объектов, содержащего k одинаковых элементов, число перестановок рассчитывается как n!/k!.

Задачи на подсчет числа перестановок

1. Найти количество способов расставить n книг на полке.

2. Определить, сколькими различными способами можно задать участие в соревновании.

Задачи на количество различных перестановок с пробелами

1. Рассчитать число способов размещения n объектов с k пробелами между ними.

2. Узнать количество различных упорядоченных последовательностей, в которых некоторые элементы повторяются.

1.3. Сочетания

Сочетания можно делить на:

– Сочетания без повторений: Определяется как количество способов выбрать k элементов из n без учета порядка. Формула: C (n, k) = n!/k! (n-k)!.

– Сочетания с повторениями: Число способов выбрать $k$ элементов из $n$ с учетом повторений. Формула: C (n+k-1, k).

Задачи на выбор подмножеств

1. Выбрать k студентов из группы с n студентами.

2. Определить, сколько различных наборов фруктов можно выбрать, если некоторые фрукты могут повторяться.

1.4. Принципы счёта

Комбинаторика использует несколько принципов подсчета:

– Принцип умножения: Если существует m способов выполнить одно действие и n способов выполнить другое, то общее число способов выполнить оба действия равно m x n.

– Принцип сложения: Если одно из двух действий можно выполнить двумя различными способами, то общее число способов выполнения одного из этих действий равно сумме количества способов выполнения каждого из них.

– Принцип включения-исключения: Используется для подсчета количества элементов в объединении нескольких множеств, позволяя избежать двойного счета.

Задачи на применение принципов

1. Определить общее количество способов составить меню из нескольких блюд.

2. Найти общее число маршрутов из одного города в другой с учетом различных транспортных средств.

1.5. Разбиения

Разбиение множества заключается в разделении его на подмножества так, чтобы каждое подмножество не пересекалось и охватывало все элементы оригинального множества.

Задачи на разбиение множества на подмножества

1. Разд