Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2
Ольга Ведилова
Конспект описывает и дополняет математический аппарат к учебному руководству И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2 «Квантовая механика».
Ольга Ведилова
Конспект к учебнику И.В.Савельева «Основы теоретической физики», т. 2
Глава I
Основные положения квантовой механики
1.01.Введение(01)
1.02.Состояние(08)
?x??p
? h/2
?x??v
? h/2m
1.03.Принцип суперпозиции(12)
? = ?c
?
1.04.Физический смысл ? функции(14)
? = ?(x,y,z) dV = dx·dy·dz
dP = |?|
dV = ?
?dV
?|?|
dV = ??
?dV = 1
? = ?(x
,y
,z
,x
,y
,z
)
dP = |?(x
,y
,z
,x
,y
,z
)|
dV
dV
<r> = ?rdP = ?r|?|
dV = ??
r?dV
<x> = ??
x?dV <y> = ??
y?dV <z> = ??
z?dV
U = U(x,y,z)
<U> = ??
U?dV
1.05.Уравнение Шредингера(16)
?
? ?
U = U(x,y,z) не зависит от t:
?(x,y,z,t) = ?(x,y,z)f(t)
левая часть равенства – функция координат, правая –времени,
следовательно, равны константе
f = e
/
стационарное уравнение Шредингера:
?(x,y,z,t) = ?(x,y,z) e
|?|
= |?|
уравнение Шредингера для стационарных состояний
(? заменяем на ? !!!)
уравнение Шредингера для свободной частицы:
U = 0
k
= 2mE/h
= p
/h
E = mv
/2 = p
/2m
?? + k
? = 0
1)одна координата x:
k
= k
?? = ?
? /?x
?
? /?x
+ k
? = 0
?(x) = e
?(x,t) = e
e
/
= e
/
= e
/
?
? = E/h k = p/h -для волны
2)все координаты:
k
= k
+ k
+ k
?? = ?
?/?x
+ ?
?/?y
+ ?
?/?z
kr = k
x + k
y + k
z
?(x,y,z) = e
? = C
e
+ C
e
формула Эйлера:
e
= cos(kr) + isin(kr)
e
= cos(kr) ? isin(kr)
C
= C
= A/2 => ? = Acos(kr)
C
= ?C
= ?iB/2 => ? = Bsin(kr)
?(x,y,z,t) = e
e
/
= e
/
= e
/
? ?e
/?x = ik
e
?
e
/?x
= ?(ik
e
)/?x = ? k
e
?e
= ?( k
+ k
+ k
)e
= ? k
e
?e
+ k
e
= 0 ?
В соответствии с принципом суперпозиции пси-функция частицы может быть представлена как наложение состояний со значениями импульса, заключенными в интервале от p
–?p до p
+?p
? = E/h
k = p/h
?(k) ? ?
+(d?/dk)
(k ? k
)
c(k) ? c(k
)
? = k – k
?? = ?k
максимум A(x,t):
x
– (d?/dk)
t = 0
x
= (d?/dk)
t
v
= (d?/dk)
E = p
/2m
p = hk
? = E/h = hk
/2m
минимум A(x,t):
[x
? (d?/dk)
t]?k = ±?
x
= (d?/dk)
t ± ?/?k
1.06.Плотность потока вероятности(22) можно пропустить пока !!!
?
Глава II
2.07.Основные постулаты квантовой механики (25)
будем использовать Q вместо для операторов !!!
Первый постулат утверждает, что каждую физическую величину можно представить линейным оператором
Второй постулат квантовой механики гласит, что в результате измерения физической величины Q, представляемой оператором , может получаться лишь одно из собственных значений q
оператора
Третий постулат квантовой механики утверждает, что при измерениях, осуществляемых над системой, находящейся в состоянии ?, для определения значения величины Q, по функциям которой осуществлено разложение , вероятность получить значение q
равна (при надлежащей нормировке функций) квадрату модуля коэффициента c
Q? = f
линейный оператор:
Q(?
+ ?
) = Q(?
) + Q(?
)
Q(c?) = cQ?
Q?c
?
= ?c
Q?
пример:
??c
?
/?x = ?c
??
/?x
собственные значения и собственные функции:
Q? = q?
q
, q
, … , q
, …
?
, ?
, … , ?
, …
? = ?c
?
?|c
|
= ?c
c
= 1
??
?
dV = ?
скалярное произведение функций:
<?|?> ? ??
?dV (1)
<?|?> = ??
?dV = ?|?|
dV
<a?|?> = ?(a?)
?dV = a
??
?dV = a
<?|?>
<?|b?> = ??
(b?)dV = b??
?dV = b<?|?>
<a?|b?> = a
b<?|?>
<?|?>
= (??
?dV)
= ??
?dV = <?|?>
<?|?>
= <?|?> (2)
<?|Q?>
= (??
Q?dV)
= ?(Q?)
?dV = <Q?|?>
<?|Q?>
= <Q?|?>
<Q?|?>
= (?(Q?)
?dV)
= ??
(Q?)dV = <?|Q?>
<Q?|?>
= <?|Q?>
? = ?c
?
<?
|?
> = ??
?
dV = ?
<?
|?> = <?
|?c
?
> = ?c
<?
|?
> = ?c
?
= c
c
= ??
?dV = <?
|?> (3a)
c
= (??
?dV)
= ??
?
dV = <?|?
>
c
= ??
?
dV = <?|?
> (3b)
<q> = ?q
|c
|
= ?q
c
c
= ?q
(??
?
dV)c
= ?(??
q
?
dV)c
=
= ?(??
Q?
dV)c
= ??
Q?c
?
dV = ??
Q?dV
<q> = ??
Q?dV = <?|Q?> (4)
через скалярное произведение функций (наглядней):
<q> = ?q
|c
|
= ?q
c
c
= ?q
<?|?
>c
= ?<?|q
?
>c
ЛитРес