Этой книгой я продолжаю курс практических занятий по Линейной алгебре, которые я проводил со студентами университета культуры и искусств в городе Санкт – Петербурге. но уже с широким применением приложения MS Ofice Excel.
1.Определители матрицы
1.1.Определители 2-го порядка
Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:
Матрица A
Число A = а
?а
– а
?а
называется определителем 2-го порядка и соответствует приведенной выше матрице Этот определитель обозначается символом det A и вычисляется по следующему правилу:
Правило вычисления определителя второго порядка.
Числа а
,а
а
,а
являются элементами определителя. Говорят, что элементы а
,а
лежат на главной диагонали определителя, а а
,а
– на побочной.
Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.
1.2.Определители 3-го порядка
Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:
Определитель 3-го порядка.
Определителем 3-го порядка, соответствующим зтой таблице, называется число, равное:
а
?а
?а
+ а
?а
?а
+ а
?а
?а
– а
?а
?а
– а
?а
?а
– а
?а
?а
Этот определитель обозначается символом det:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):
1.3.Свойства определителей
1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.
Первое свойство определителя (2-го порядка).
Первое свойство определителя (3-го порядка).
2) При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.
Второе свойство определителя (3-го порядка).
3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0
Третье свойство определителя (3-го порядка).
4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.
Четвертое свойство определителя (3-го порядка).
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0
Следствие из свойств 3 и 4.
5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Пятое свойство определителя (3-го порядка).
6) Элементарные преобразования определителя.
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число:
Элементарные преобразования определителя (3го порядка)..
Минором некоторого элемента а
определителя n-ого порядка называется определитель n-1 —ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца
Обозначается М
Минор элемента а
Минор элемента а
Алгебраическим дополнением элемента А
определителя называется его минор (М
), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.