Готовимся к ЕГЭ. Решение задач на экстремум

Марина Геннадиевна Семененко

Задачи на нахождение экстремума (минимума или максимума) функции встречаются в каждом варианте ЕГЭ. Но их ценность определяется не только этим.

Цель данного пособия – рассмотреть различные приложения задач на экстремум и методы их решения.

Марина Семененко

Готовимся к ЕГЭ. Решение задач на экстремум

Введение

Цель этой книги – помочь школьникам разобраться в решении задач на экстремум (нахождение максимума и/или минимума функции). Рассматриваются как очень простые, так и нестандартные задачи, которые в различные годы предлагались на вступительных экзаменах в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Книга предназначена для тех, кто готовится к ЕГЭ, а также хочет научиться решать задачи и просто любит математику. Упор сделан на понимание, а не «натаскивание» к экзамену. Об этой проблеме я писала на своем канале в Дзен:

https://clck.ru/Nfwau (https://clck.ru/Nfwau)

В комментариях вы можете написать, какие еще темы были бы для вас интересны. Интересные материалы Вы можете найти на моем канале в You Tube:

https://cl29ck.ru/MNJvE (https://clck.ru/MNJvE)

Именно с непониманием предмета связаны проблемы на ЕГЭ по химии в 2020 г. И, скорее всего, подобные ситуации будут возникать и на остальных экзаменах. Я предполагаю написать серию книг по математике и физике, которые, включая подготовку к ЕГЭ, способствуют прежде всего глубокому пониманию сути решаемых задач. Данное пособие посвящено решению задач, связанных с нахождением экстремумов (максимумов или минимумов) функции.

Решение задач на экстремум – один из наиболее сложных разделов математики, который широко применяется и в других науках: физике, программировании, инжиниринге. Приложениям посвящен последний раздел книги.

Понимание математики (и не только) невозможно без решения большого количества задач. Часть задач разбирается в тексте книги, а часть предлагается для самостоятельного решения.

Почти все графики, приведенные в данном пособии, сделаны с помощью компьютерных программ. Естественно, возможности ими пользоваться на экзаменах не будет, но умений, которые потребуются в жизни, гораздо больше, чем тех, которые нужны на экзамене. Поэтому я включила «шпаргалку» о построении графиков в эту книгу.

Всем удачи и успехов на экзаменах и не только!

Глава 1. Находим экстремумы без вычисления производных

§1. А что такое экстремум функции?

Задачи на экстремум (т.е. нахождение минимума или максимума функции) встречаются в каждом варианте ЕГЭ.

Рассмотрим определение экстремумов функции. Для этого сначала введем понятие окрестности точки.

Окрестностью точкиx

называется любой отрезок, содержащий эту точку. Например, окрестностью точки 0 будет отрезок [-1;1] (так называемая симметричная окрестность). Отрезок [-1;2] также будет окрестностью этой точки, но уже несимметричной.

Концы отрезка могут либо включаться в окрестность (тогда она называется закрытой) либо не включаются (в этом случае окрестность называется открытой).